©Richard Lowry, 1999-
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Cap’tulo 3. Introducci—n a la
correlaci—n lineal y a la regresi—n
Parte 1
[Concepts & Applications of Inferential Statistics]
| Traducción: Jorge Hern‡ndez Garc’a Universidad Nacional Aut—noma de MŽxico oulixes@hotmail.com |
La correlaci—n y la
regresi—n se refieren a la relaci—n que existe entre dos variables, X e Y, en
el caso en que cada valor particular de Xi est‡ asociado con un
valor particular de Yi. Por ejemplo: las medidas individuales de estatura de
sujetos humanos, asociadas con sus correspondientes medidas de peso; el nœmero
de horas que los estudiantes de un curso de estad’stica invierten estudiando
antes de un examen, asociadas con sus correspondientes medidas de desempe–o en
el examen; el tiempo de clase que los estudiantes de un curso de estad’stica
invierten bostezando y so–ando despiertos antes de un examen, asociado con sus
correspondientes medidas de desempe–o en el examen; etcŽtera.
Fundamentalmente, es una
variante del tema relaci—n funcional cuantitativa. Mientras m‡s tengas de esta
variable, m‡s tienes de esta otra. O de manera inversa, mientras m‡s tengas de esta variable,
menos tienes de esta otra. As’: mientras m‡s estatura tengas, tender‡s a tener
m‡s peso; mientras m‡s estudien los estudiantes antes de un examen de
estad’stica, mayor tendencia tendr‡n a que les vaya bien en el examen. O
inversamente, mientras m‡s tiempo de clase inviertan los estudiantes bostezando
y so–ando despiertos, menos tender‡n a que les vaya bien en el examen. En el
primer tipo de caso (mientras m‡s de esto, m‡s de aquello), estamos hablando
de una correlaci—n positiva entre las dos variables; y en el segundo tipo (mientras m‡s de esto, menos de aquello), estamos
hablando de una correlaci—n negativa entre las dos variables.
La correlaci—n y la
regresi—n son dos caras de la misma moneda. En la l—gica subyacente, se puede
comenzar con cualquiera de ellas y terminar con la otra. Comenzaremos con la
correlaci—n, puesto que es la parte de la historia correlaci—n-regresi—n con la
cual se est‡ probablemente ya algo familiarizado.
Correlaci—n
Aqu’ est‡ un ejemplo
introductorio de correlaci—n, tomado del ‡mbito de la educaci—n y los asuntos
pœblicos. Si usted es estudiante de bachillerato en los Estados Unidos, es
posible que tenga un reciente y quiz‡ dolorosa experiencia con un instrumento
conocido como Prueba de Logro Escolar (SAT - Scholastic Achievement Test), que se administra
anualmente por el ComitŽ de Examinaci—n de Ingreso al Bachillerato (College
Entrance Examination Board), que pretende medir ambos, el logro acadŽmico y la
aptitud para proseguir posterior trabajo acadŽmico a nivel bachillerato. Como
todos aquellos que hayan presentado el SAT recordar‡n bien, la carta que les
informa los resultados del examen, pueden ocasionar gran jœbilo o gran
desesperanza. Lo que usted probablemente no not— en ese momento, sin embargo,
es que la carta que usted recibi—, tambiŽn contribuy— al jœbilo o desesperanza
del secretario de educaci—n del estado en que usted residi— ese a–o.
Esto es debido a que cada
a–o el ComitŽ de Examinaci—n de Ingreso al Bachillerato anuncia pœblicamente
los promedios alcanzados en el SAT por estado y cada a–o, los responsables
estatales de educaci—n se regocijan o deprimen ante los detalles de este
anuncio, segœn que los promedios de su propio estado aparezcan cerca del
principio o del final de la lista. La hip—tesis, por supuesto, es que las
diferencias en puntuaci—n del SAT estado por estado, reflejan diferencias
subyacentes en la calidad y efectividad de los sistemas educativos de cada
estado.
Y es casi seguro que existen diferencias sustanciales en las puntuaciones
promedio del SAT estado por estado, a–o tras a–o, tras a–o. Estas diferencias
puede ilustrase con los resultados del SAT de cualquier a–o particular tomado
de las dos o tres œltimas dŽcadas, puesto que el patr—n general es muy parecido
de un a–o a otro. Ilustraremos el punto con los resultados de 1993, dado que
ese fue el a–o de la muestra del SAT examinada en un importante art’culo de
investigaci—n en la materia.
Powell, B., & Steelman, L. C. "Bewitched,
bothered, and bewildering: The uses and abuses of SAT and ACT scores." Harvard Educational Review,66, 1,
27—54.
See also Powell, B., & Steelman, L. C. "Variations in state SAT
performance: Meaningful or misleading?" Harvard Educational Review,54, 4, 389—412.
Entre los estados casi hasta arriba de la lista en 1993 (promedios SAT
combinados de habilidad matem‡tica y lingŸ’stica) estuvieron Iowa, pesando
1103; North Dakota, con 1101; South Dakota, con 1060, y Kansas, con 1042. Y
cerca del final de la lista estuvieron los frecuentemente-difamados Òcinta
oxidadaÓ estados del noeste: Connecticut, con 904; Massachusetts, con 903; New
Jersey, con 892; y New York, m‡s de 200 puntos debajo de Iowa, con 887. Usted
puede imaginarse f‡cilmente el jœbilo en DesMoines y Topeka ese d’a, y la
desesperanza en Trenton y Albany. Seguramente la implicaci—n es clara: Los sistemas educativos en Iowa, North
Dakota, South Dakota, y Kansas deben haber estado haciendo las cosas
correctamente, mientras que los de Connecticut, Massachusetts, New Jersey, y New
York deben haber estado haciendo las cosas no muy bien.
Antes que se precipite a
saltar por esta conclusi—n, sin embargo, regresemos a mirar los datos desde un
‡ngulo diferente. Cuando el ComitŽ de Examinaci—n de Ingreso al Bachillerato
anuncia los promedios anuales del SAT por estado, tambiŽn relaciona el
porcentaje de quasi-graduados dentro de cada estado que presentan el SAT. Esta
œltima lista es aparentemente ofrecida s—lo como marco de referencia –sin
importar la tasa, se la pasa muy brevemente en el anuncio y recibe escasa
cobertura por los noticieros. Eche un vistazo m‡s de cerca sin embargo, y ver‡
que lo que el marco de referencia proporciona es en efecto muy interesante.
Aqu’ est‡ la informaci—n relevante de 1993 para los ocho estados que hemos
mencionado. Vea si puede detectar algœn patr—n.
|
Estado |
Porcentaje que presenta el SAT |
Puntuaci—n promedio |
|
Iowa |
5 |
1103 |
|
Connecticut |
88 |
904 |
Mirabile dictu! Los cuatro estados
cerca del inicio de la lista tuvieron unos muy peque–os porcentajes de quasi-graduados
que presentaron el SAT, mientras que los cuatro estados cerca del final
tuvieron muy grande nœmero de quasi-graduados que lo presentaron. Creo que estar‡
usted de acuerdo en que esta observaci—n hace surgir preguntas interesantes.
Por ejemplo: ÀPodr’a ser que el 5% de los quasi-graduados que presentaron el
SAT en 1993 fuese el 5% de hasta arriba? ÀCu‡l deber’a haber sido el promedio
de puntuaci—n SAT para Connecticut si el examen en ese estado hubiera sido
presentado s—lo por el mejor 5% de los quasi-graduados en lugar del
(presumiblemente) 88% ÒmejorÓ? Usted puede sin duda imaginarse cualquier
cantidad de variaciones sobre este tema.
La Figura 3.1 muestra la relaci—n entre esas dos variables
–porcentaje de quasi-graduados que presentan el SAT versus puntuaci—n
promedio en el SAT– para los 50 estados. Dentro del contexto de la
correlaci—n y la regresi—n, un punto con coordenadas de dos variables de este
tipo general es t’picamente llamado un diagrama
de dispersi—n. De cualquier manera, es simplemente una variaci—n del
tema de graficado de coordenadas cartesianas que usted habr‡ casi seguramente
encontrado en su experiencia educativa previa. Es un mŽtodo est‡ndar para
representar gr‡ficamente la relaci—n que existe entre dos variables, X e Y, en
el caso en que cada valor particular Xi est‡ relacionado con un
valor particular Yi.
Figura
3.1. Porcentaje de quasi-graduados de bachillerato que
presentan el SAT versus Puntuaci—n promedio combinada SAT por Estado: 1993
|
|
|
Para este ejemplo,
designando el porcentaje de quasi-graduados dentro de un estado que presentan
el SAT como Xi y la puntuaci—n promedio combinada SAT como Yi,
tendr’amos un total de N=50 valores relacionados de Xi y Yi.
De esta manera, para Iowa, Xi=5% se relacionar’a con Yi=1103;
para Massachusetts, Xi=81% se relacionar’a con Yi=903; y
as’ para todos los 50 estados. La lista divariada completa se ver’a como la
siguiente, excepto que las designaciones abstractas para Xi y Yi
ser’an ,por supuesto, remplazadas por sus valores numŽricos particulares.
|
Estado |
Xi |
Yi |
|
1i |
X1 |
Y1 |
|
El siguiente paso en
el graficado divariado de coordenadas es trazar dos ejes en ‡ngulo recto. Por
convenci—n, el eje horizontal es asignado a la variable X y el eje vertical a
la variable Y, con valores crecientes de X de izquierda a derecha y valores
crecientes de Y de abajo hacia arriba. |
|
Una convenci—n adicional en
el graficado divariado de coordenadas aplica s—lo a aquellos casos en que una
relaci—n causal se conoce o se establece por hip—tesis entre dos variables
causalmente relacionadas. Al examinar la relaci—n entre dos variables
relacionadas causalmente, la variable
independiente es aquella que es capaz de influenciar la otra, y la variable dependiente es aquella que es
susceptible de ser influenciada por la otra. Por ejemplo, crecer m‡s alto har‡
a uno tender a ser m‡s pesado, mientras que pesar m‡s no tendr‡ un efecto
sistem‡tico en que uno crezca m‡s alto. En el ser humano, la relaci—n entre
estatura y peso, por lo tanto, la estatura es la variable independiente y el
peso la variable dependiente. La cantidad de tiempo que se invierte estudiando
antes de un examen puede afectar su desempe–o subsiguiente en el examen,
mientras que su desempe–o en el examen no puede afectar retroactivamente la
cantidad de tiempo previamente dedicada a estudiar. Por lo tanto, la cantidad
de estudio es la variable independiente y el desempe–o en el examen es la
variable dependiente.
En la presente muestra del
SAT, el porcentaje de quasi-graduados dentro de un estado que presentaron el
SAT, puede comprensiblemente afectar la puntuaci—n promedio SAR del estado,
mientras que la puntuaci—n promedio del estado en cualquier a–o dado no puede
influenciar retroactivamente el porcentaje de quasi-graduados que presentan el
examen. As’, el porcentaje de quasi-graduados que presentan el examen es la
variable independiente, X, mientras que la puntuaci—n promedio del estado es la
variable dependiente, Y. En este tipo de casos, la convenci—n es reservar el
eje X para la variable independiente y el eje Y para la variable dependiente. Para
casos en que la distinci—n entre ÒindependienteÓ y ÒdependienteÓ no aplica, es
indistinto quŽ variable se denomina X y quŽ variable se denomina Y.
Al designar una gr‡fica coordenada de este tipo, generalmente no es necesario
comenzar ni el eje X ni el Y en cero. El eje X puede comenzar en o un poco por
encima del menor valor observado Xi, y el eje Y puede comenzar en o
un poco sobre el valor m‡s bajo observado Yi.
|
|
|
Para cualquier tasa, el
mensaje claro de la Figura 3.1 es que los estados con porcentajes relativamente
bajos de quasi-graduados que presentaron el SAT en 1993, tienden a tener
puntuaciones promedio SAT relativamente altas, mientras que aquellos que
tuvieron porcentajes relativamente altos de quasi-graduados que presentaron el
SAT, tendieron a tener puntuaciones promedio SAT relativamente bajas. La
relaci—n no es una relaci—n perfecta, aunque es sin embargo claramente visible
a primera vista. Es lo mismo que mostramos antes, salvo que ahora incluimos la
l’nea recta que forma el mejor ÒajusteÓ de esta relaci—n. Regresaremos al
significado y derivaci—n de esta l’nea un poco m‡s tarde.
|
|
ÁCambiar! El primero es el patr—n delineado por la l’nea s—lida
que baja y el segundo el es que est‡ marcado por la l’nea punteada y m‡s
inclinada l’nea curva que puede ver si hace clic en la l’nea ÒÁCambiar!Ó
[Haga clic en ÒÁCambiarÓ de nuevo para regresar a la l’nea recta.] |
Una relaci—n que puede describirse por una l’nea recta es llamada lineal,
mientras que una que puede describirse con una curva es llamada curvilineal. Tocaremos
el tema de la relaci—n curvilineal en un cap’tulo posterior. Nuestra cobertua actual
estar‡ confinada a la correlaci—n lineal.
La Figura 3.2 ilustra las diferentes formas que la
correlaci—n lineal es capaz de tomar. Las posibilidades b‡sicas son:
(i) correlaci—n positiva; (ii) correlaci—n negativa; y (iii) correlaci—n
cero. En el caso 
de la correlaci—n
cero, la gr‡fica de coordenadas aparecer‡ algo como la confusi—n si patr—n que
se muestra en la Figura 3.2a, reflejando el hecho de que no existe una tendencia
sistem‡tica para que X e Y sean asociados de ningœn modo. La gr‡fica de una
correlaci—n positiva, en el otro extremo, reflejar‡ la tendencia para que
valores altos de Xi sean asociados con valores altos de Yi
y viceversa; por lo tanto, los puntos tender‡n a linearse a lo largo de una
diagonal creciente, como se muestra en la Figura 3.2b. La gr‡fica de una
correlaci—n negativa reflejar‡ la tendencia opuesta para que valores altos de
Xi se asocien a valores bajos de Yi y viceversa; por lo tanto, los puntos
tender‡n a alinearse a lo largo de una diagonal decreciente, como se muestra en
la Figura 3.2d.
El caso l’mite de
correlaci—n lineal, como se ilustra en las figuras 3.2c y 3.2e, es cuando los
puntos se alinean a lo largo de la diagonal como cuentas en una cuerda tensa.
Este arreglo, t’picamente llamado correlaci—n perfecta, representar’a el m‡ximo
grado de correlaci—n lineal, positiva o negativa, que podr’a posiblemente
existir entre dos variables. En el mundo real, normalmente encontrar‡ correlaciones
lineales perfectas s—lo en el ‡mbito de los principios f’sicos b‡sicos; por
ejemplo, la relaci—n entre voltaje y corriente en un circuito elŽctrico con
resistencia constante. Entre los menos ordenados fen—menos de las ciencias
conductuales y biol—gicas, las correlaciones positivas y negativas son mucho
m‡s parecidas a los tipos imperfectos ilustrados en las Figuras 3.2b y 3.2d.
Medida de la correlaci—n lineal
La medida primaria de correlaci—n lineal es el coeficiente de correlaci—n producto-momento de Pearson,
denotado por la letra minœscula romana r, que toma valores desde r=+1.0 para una correlaci—n positiva
perfecta, hasta r=—1.0 para una correlaci—n negativa
perfecta. El punto medio de su rango, r=0.0, corresponde a una total ausencia de
correlaci—n. Los valores que caen entre r=0.0 y r=+1.0 representan grados
variables de correlaci—n positiva, mientras que aquellas que caen entre r=0.0 y r=—1.0 representan grados
variables de correlaci—n negativa.
Una medida de correlaci—n muy
relacionada que le acompa–a es el coeficiente de
determinaci—n, denotado r2, que es
simplemente el cuadrado del coeficiente de correlaci—n. El coeficiente de
determinaci—n puede tomar s—lo valores positivos que van desde r2=0.0 para
una correlaci—n perfecta (positiva o negativa) hasta r2=0.0 para
una total ausencia de correlaci—n. La ventaja del coeficiente de correlaci—n, r, es que puede tener
un signo positivo o negativo con el que proporciona una indicaci—n de la
direcci—n positiva o negativa de la correlaci—n. La ventaja del coeficiente de
determinaci—n, r2, es que proporciona iguales medidas de
intervalo y escala de raz—n de la fuerza de la correlaci—n. En efecto,
el coeficiente de correlaci—n, r, nos da la verdadera direcci—n de la correlaci—n
(+ — —), pero s—lo la ra’z cuadrada de la fuerza de la
correlaci—n; mientras que el coeficiente de determinaci—n, r2, nosa da
la verdadera fuerza de la correlaci—n pero sin indicaci—n de su direcci—n.
Ambos indicadores conjuntamente hacen el trabajo completo.
Examinaremos los detalles del c‡lculos de estas dos medidas en un
momento, pero primero un poco m‡s para presentar conceptos generales. La figura
3.3 muestra cuatro ejemplos espec’ficos de r y r2, cada uno
producido tomando dos conjuntos muy simples de valores X e Y, a saber,
Xi = {1, 2,
3, 4, 5, 6} and Yi = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
y asoci‡ndolos en una u otra de entre cuatro
diferentes formas. En el ejemplo I, est‡n asociados de tal manera que produzcan
una correlaci—n positiva perfecta, resultando un coeficiente de correlaci—n r=+1.0 y un coeficiente
de determinaci—n r2=1.0. En el ejemplo II, la asociaci—n produce
una correlaci—n positiva algo perdida que conduce a un coeficiente de
correlaci—n r=+0.66 y un coeficiente de determinaci—n r2= 0.44. Para
prop—sitos de interpretaci—n, se puede traducir el coeficiente de determinaci—n
en tŽrminos de porcentajes (i.e., porcentaje= r2x100), que
permitir‡ decir cosas tales como, por ejemplo, que la correlaci—n en el ejemplo
I (r2=1.0 ) es 100% tan fuerte como posible, dados los valores
particulares de Xi e Yi, mientras que el del ejemplo II (r2=0.44 ) es
s—lo 44% tan fuerte como posible. Alternativamente, se podr’a decir que la correlaci—n
m‡s pobre del ejemplo II es s—lo 44% tan fuerte como la correlaci—n perfecta
mostrada en el ejemplo I. El significado esencial de la Òfuerza de correlaci—nÓ
en este contexto es que tal y tal porcentaje de la variabilidad de Y est‡
asociada con (atada a, ligada a, acoplada con) la variabilidad en X y
viceversa. De este modo, para el ejemplo I, 100% de la variabilidad de Y est‡
apareada con la variabilidad de X; mientras que en el ejemplo II, s—lo 44% de
la variabilidad de Y est‡ ligada a la variabilidad de X.
Figura 3.3. Cuatro
asociaciones diferente del mismo conjunto de valores de X e Y
Las correlaciones mostradas
en los ejemplos III y IV son obviamente espejo de las reciŽn descritas. En el
ejemplo III, los seis valores de Xi e Yi est‡n asociados
de tal forma que produzcan una correlaci—n negativa perfecta, que nos conduce a
un coeficiente de correlaci—n r=—1.0 y un coeficiente de
determinaci—n r2=1.0. En el ejemplo IV, la asociaci—n produce
una correlaci—n negativa m‡s pobre, resultando un coeficiente de correlaci—n r=—0.66 y un coeficiente
de determinaci—n r2= 0.44. Aqu’, de nuevo, se puede decir, para
el ejemplo III que 100% de la variabilidad en Y est‡ acoplada con la
variabilidad de X; mientras que en el ejemplo IV, s—lo 44% de la variabilidad
de Y est‡ vinculada a la variabilidad de X. Se puede ir m‡s all‡ y decir que
las correlaciones perfectas, positivas y negativas, en los ejemplos I y III
tienen igual fuerza (ambas con r2=1.0) pero direcci—n opuesta; e
igualmente, que las correlaciones m‡s pobres, positivas y negativas de los
ejemplos II y IV, tienen igual fuerza (ambas con r2=0.44) pero
direcciones opuestas.
Para ilustrar el siguiente punto en m‡s detalle, nos enfocaremos por un
momento en la asociaci—n particular de los valores Xie Yi que produjeron la
correlaci—n positiva mostrada en el ejemplo II de la Figura 3.3.
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Pareja |
Xi |
Yi |
|
|
|
a |
1 |
6 |
Cuando se realizan los procedimientos de c‡lculo para la correlaci—n lineal y
la regresi—n, lo que esencialmente se hace es definir la l’nea recta que mejor
ajusta la distribuci—n divariada de los puntos, como se muestra en la siguiente
versi—n de la misma gr‡fica. La l’nea es llamada l’nea
de regresi—n o recta de regresi—n y el criterio para Òmejor ajusteÓ
es que la suma de los cuadrados de las distancias verticales (las l’neas verdes
||||) entre los puntos y la l’nea de
regresi—n sean tan peque–os como se pueda.
|
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|
|
Los detalles de esta l’nea
–en particular, donde comienza en el eje Y y la tasa a la cual se inclina
hacia arriba o hacia abajo- no se dibujar‡ expl’citamente hasta que
consideremos el lado de regresi—n de la correlaci—n y la regresi—n. Sin
embargo, est‡n presentes impl’citamente cuando se ejecutan los procedimientos
de c‡lculo para el lado de correlaci—n de la moneda. Como se indic— arriba, la
inclinaci—n de la l’nea hacia arriba o hacia abajo, es lo que determina el
signo del coeficiente de correlaci—n (r), positivo o negativo; y el
grado en que los puntos est‡n alineados a lo largo de la l’nea o alejados de
ella, determina la fuerza de la correlaci—n (r2).
Hemos ya encontrado el
concepto general de varianza para el caso en que se describe la variaci—n que
existe entre instancias variadas de una œnica variable. La medida de
correlaci—n lineal requiere una extensi—n de este concepto para el caso en que
se describe la variaci—n conjunta que existe entre instancias divariadas asociadas de dos variables, X e
Y, juntas. Hemos ya tocado el concepto general. En la correlaci—n positiva, los
valores altos de X tienden a ser asociados con valores altos de Y, y los
valores bajos de X tienden a ser asociados con valores bajos de Y. En la
correlaci—n negativa es lo opuesto: valores altos de X tienden a ser asociados
con valores bajos de Y, y valores bajos de X tienden a ser asociados con
valores altos e Y. En ambos casos, la frase Òtienden a ser asociadosÓ es otra
forma de decir que la variabilidad en X tiende a ser acoplada con la
variabilidad en Y y viceversa –o, brevemente, que X e Y tienden a variar
conjuntamente. La medida prima de la tendencia de dos variables, X e Y, que
var’an conjuntamente es una cantidad conocida como la covarianza. Sucede que no es
necesario ser capaz de calcular la cantidad de covarianza por s’ misma, porque
lo que estamos buscando, el c‡lculo de r y r2, puede
alcanzarse por medio de un atajo. Sin embargo, se necesitar‡ tener al menos el
concepto general de ello; as’ que mantŽngalo en la mente mientras procedemos a
travŽs de unos cuantos p‡rrafos que siguen, que la covarianza es una medida del
grado en que dos variables X e Y, var’an conjuntamente.
En su l—gica subyacente, el
coeficiente de correlaci—n producto-momento de Pearson descansa en una simple
raz—n entre (i) la cantidad de variaci—n conjunta realmente observada entre X e
Y, y (ii) la cantidad de variaci—n conjunta que existir’a si X e Y tuvieran una
correlaci—n positiva perfecta (100%). As’
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r = |
covarianza observada Covarianza positiva m‡xima posible |
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|
|
|
A medida que se
produce, la cantidad arriba se–alada como Òcovarianza positiva m‡xima posibleÓ
est‡ determinada precisamente por las dos varianzas separadas de X e Y. Esto es
por la sencilla raz—n de que X e Y pueden covariar, juntas, s—lo en al
medida que var’an de manera separada. Si alguna de las dos variables tuviera
cero variabilidad (por ejemplo, si los valores Xi fueran todos
iguales), entonces claramente no podr’an covariar. Espec’ficamente, la varianza
positiva m‡xima posible que puede existir entre dos variables es igual a la
media geomŽtrica de las dos varianzas separadas.
|
Para
cualquier conjunto de n valores numŽricos, a, b, c, etc., la media geomŽtrica
es la n-Žsima ra’z del producto de esos valores. As’, la media geomŽtrica de
a y b ser’a la ra’z cuadrada de axb; la media geomŽtrica de a, b y c, ser’a
la ra’z cœbica de axbxc; y as’. |
De este modo la relaci—n ahora es
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r = |
covarianza observada sqrt[(varianzaX) x (varianzaY)] |
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Recuerde que "sqrt" significa
"la ra’z cuadrada de." |
Aunque en principio esta relaci—n involucra dos varianzas y
una covarianza, en la pr‡ctica, a travŽs de la magia de la manipulaci—n
algebr‡ica, se reduce a algo que es mucho m‡s simple de calcular. En la
siguiente formulaci—n se reconocer‡ inmediatamente el significado de SSX, que es la suma de
las desviaciones al cuadrado de X; por extensi—n, ser‡ capaz tambiŽn de
reconocer SSY, que es la suma de las desviaciones al cuadrado de Y.
|
Para
obtener la f—rmula de abajo a partir de la anterior, necesitar‡ recordar que
la varianza (s2) de un conjunto de valores, es
simplemente el promedio de sus desviaciones al cuadrado: SS/N. |
El tercer tŽrmino, SCXY, denota una cantidad que llamaremos suma de las co-desviaciones; y como no se
puede dudar inferirlo del nombre, es bastante parecido a una suma de
desviaciones cuadradas. SSX es la medida prima de
variabilidad entre los valores Xi; SSY es la medida prima de
variabilidad entre los valores Yi; y SCXY es la medida prima de
co-variabilidad de X e Y juntas.
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r = |
SCXY sqrt[SSX x SSY] |
|
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Para
entender esta familiaridad, recuerde del cap’tulo 2 lo que se entiende
precisamente por el tŽrmino Òdesviaci—nÓ. |
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Para cualquier elemento del conjunto de medidas de la
variable X, De igual forma, para cualquier elemento del conjunto de medidas de la variable
Y, desviaci—nY=Yi — MY |
|
Como probablemente habr‡ adivinado ya, una co-desviaci—n perteneciente a
un par particular de valores XY involucra la desviaci—nX del
elemento Xi del par y la desviaci—nY del elemento Yi
del par. La forma particular en que son reunidos para formar la co-desviaci—n
es |
|
|
co-desviaci—nXY = (desviaci—nX) x (desviaci—nY)
|
|
Y finalmente, la analog’a entre una co-desviaci—n y una desviaci—n
cuadrada: |
|
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Para un valor Xi, la desviaci—n cuadrada es Para un valor Yi es Y para un par de valores Xi e Yi, la co-desviaci—n
es |
Esto deber’a dar un sentido
de los conceptos subyacentes. S—lo mantenga en la mente, sin importar la
secuencia de c‡lculos que siga cuando calcule el coeficiente de correlaci—n,
que lo que est‡ calculando fundamentalmente es la raz—n
|
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r = |
covarianza observada Covarianza positiva m‡xima posible |
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|
la cual, para prop—stios de c‡lculo, se reduce a
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r = |
SCXY sqrt[SSX x SSY] |
|
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Ahora lo esencial de esto. Aqu’,
de nuevo, es la asociaci—n particular de valores Xi and Yi
la que produjo la correlaci—n positiva del ejemplo II de la Figura 3.3. Pero
ahora los sometemos a un poco de trituraci—n de nœmeros, calculando el cuadrado
de cada valor Xi y Yi, junto con el producto cruzado de cada
par XiYi. Esos son los elementos que se requerir‡n para
el c‡lculo de las tres cantidades sumarias en la f—rmula de arriba: SSX, SSY, y SSXY.
|
Par |
Xi |
Yi |
|
Xi2 |
Yi2 |
|
XiYi |
|
|
|
a |
1 |
6 |
1 |
36 |
6 |
||||
|
sumas |
21 |
42 |
91 |
364 |
170 |
||||
|
|
|||||||||
SSX : suma de las desviaciones cuadradas
para valores Xi
Se vio en el Cap’tulo 2 que
la suma de los cuadrados de las desviaciones para un conjunto de valores Xi
puede calcularse de acuerdo con la f—rmula de c‡lculo
En el presente ejemplo,
N=6 [porque hay seis valores Xi]
Xi2
= 91
Xi = 21
(Xi)2 = (21)2
= 441
As’:
SSX = 91—(441/6) = 17.5
SSY : suma de las desviaciones cuadradas
para valores Yi
De manera similar, la suma
de desviaciones cuadradas para un conjunto de Yi puede calcularse de
acuerdo con la f—rmula
En el presente ejemplo,T
N = 6 [porque hay seis valores Yi]
Yi2
= 364
Yi = 42
(Yi)2 = (42)2
= 1764
As’:
SSY = 364—(1764/6) = 70.0
SCXY : suma de las co-desviaciones para
valores asociados de Xi e YiT
Hace un momento observamos
que la suma de las co-desviaciones asociadas de valores Xi y Yi
es an‡loga a la suma de desviaciones cuadradas para cualquiera de las variables
de manera separada. Probablemente ser‡ capaz de ver que esta analog’a tambiŽn
se extiende a la f—rmula de c‡lculo para la suma de co-desviaciones:
De nuevo, para
el presente ejemplo,T
N = 6 [porque hay seis pares XiYi]
Xi
= 21
Yi
= 42
(Xi)(Yi)
= 21 x 42 = 882
(XiYi)
= 170
As’:
SCXY = 170—(882/6) = 23.0
Una vez que se tienen estos preliminares,
SSX = 17.5, SSY = 70.0, y SCXY = 23.0
se puede calcular f‡cilmente el coeficiente de correlaci—n como
|
|
|
||
|
|
r = |
SCXY sqrt[SSX x SSY] |
|
|
|
|||
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|
= |
23.0 sqrt[17.5 x 70.0] |
= +0.66 |
|
|
|
||
y el coeficiente de determinaci—n como
|
|
r2 = (+0.66)2 =
0.44 |
Para estar seguro que se tiene un s—lido
entendimiento de estos temas, por favor tome un momento para trabajar a su modo
los detalles de la Tabla 3.1, que le mostrar‡ los
datos y c‡lculos de cada uno de los ejemplos de la Figura 3.3. Recuerde que
cada ejemplo comienza con los mismos valores de Xi e Yi;
s—lo difieren con respecto a c—mo se han asociados esos valores entre s’.
Fin del Cap’tulo 3, Parte 1.
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